Tekintsük a következő szélsőérték feladványt:

Célfüggvény:

f ( X1, X2, X3, X4, X5 ) = X1X3 - X2X3 - X2X4 + X2X5 - 76X2 + 48X3 → extr

Feltételek:

2X1 + 4X2 - 2X3 - X4 + X5 = 0
-5X1 - X2 + 2X3 + 3X4 - X5 = 0
4X1 + X2 - 2X4 + X5 = 0

Feladat:

a) Eliminálja a megadott sorrendben az X5, X4 és X1 változókat!

1. Készítsünk egy táblát

  • Mivel a feladat szerint három változót kell eliminálnunk, ezért a táblázat is három soros lesz, plusz egy a fejlécnek.
  • Mivel öt változónk van a feladat szerint, ezért öt oszlopos táblázatot kell készítenünk, plusz egy az e vektoroknak és még egy a b vektornak. 
  • Amíg nem elimináltuk a változókat, addig a táblázat soraiban "e" betű egy vektort jelöl, melynek irányát az X-ek határozzák meg.
  • Az oszlopok fejlécébe pedig a változóink kerülnek és a végére b vektor.
  X1 X2 X3 X4
X5
b

 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 

2. Töltsük ki a táblázatot a megadott feltételek alapján!

  X1 X2 X3 X4
X5
 b

2
4
-2
-1
1
0

-5
-1
2
3
-1
0

4
1
-2
1
1
0

 

3. Az X5 változó eliminálása:

  • Bővítsük táblánkat:
    • A bővítés során hagyjuk ki az eliminálni kívánt változó oszlopát.
  • Válasszunk pivot elemet:
    • A pivot elemet a legutolsó táblabővítményből választjuk ki.
    • A pivot elemet az eliminálni kívánt változó oszlopból választjuk ki.
    • A pivot elemet egy sorból csak egyszer választhatunk ki.
    • Célszerű olyan pivot elemet választani, amellyel könnyű számolni.
    • A pivot elem nem lehet nulla.
  • A pivot sorát jelöljük az eliminálni kívánt változó nevével.

 

  X1 X2 X3 X4
X5
 b
X1
X2
X3
X4
 b

2
4
-2
-1
1
0
 -2  3  -2  1  0

-5
-1
2
3
-1
0
 -1  0  2  1  0
X5
4
1
0
-2
1
0  4  1  0  -2  0

4. Az X4 változó eliminálása:

  • Bővítsük táblánkat:
    • A bővítés során hagyjuk ki az eliminálni kívánt változó oszlopát.
  • Válasszunk pivot elemet:
    • A pivot elemet a legutolsó táblabővítményből választjuk ki.
    • A pivot elemet az eliminálni kívánt változó oszlopból választjuk ki.
    • A pivot elemet egy sorból csak egyszer választhatunk ki.
    • Célszerű olyan pivot elemet választani, amellyel könnyű számolni.
    • A pivot elem nem lehet nulla.
  • A pivot sorát jelöljük az eliminálni kívánt változó nevével.
  X1 X2 X3 X4
X5
 b
X1
X2
X3
X4
 b X1 X2 X3 b

2
4
-2
-1
1
0
 -2  3  -2  1  0  -1  3  -4  0
X4
-5
-1
2
3
-1
0
 -1  0  2  1  0  -1  0  2  0
X5
4
1
0
-2
1
0  4  1  0  -2  0  2  1  4  0

5. Az X1 változó eliminálása bázistranszformációval:

  • Bővítsük táblánkat:
    • A bővítés során hagyjuk ki az eliminálni kívánt változó oszlopát.
  • Válasszunk pivot elemet:
    • A pivot elemet a legutolsó táblabővítményből választjuk ki.
    • A pivot elemet az eliminálni kívánt változó oszlopból választjuk ki.
    • A pivot elemet egy sorból csak egyszer választhatunk ki.
    • Célszerű olyan pivot elemet választani, amellyel könnyű számolni.
    • A pivot elem nem lehet nulla.
  • A pivot sorát jelöljük az eliminálni kívánt változó nevével.
  • Hajtsuk végre a bázistranszformációt az utolsó táblabővítmény adatain:
    (A színezést szemléltetésképpen alkalmaztam. A további bázistranszformációk során már csak a pivot lesz színes, de ettől a szabály ugyanaz marad.)
    1. A pivot érték sorának transzformálása:
      • Elosztunk minden értéket a pivot értékkel és az eredményeket oszlophelyesen beírjuk az üres táblabővítményünk pivot sorába.
    2. A többi sor értékeinek transzformálása:
      • Jelöljünk ki egy téglalapot:
        • Egyik csúcs: pivot érték
        • Szemközti csúcs: transzformálni kívánt érték
      • Számítsuk ki a transzformálni kívánt érték új értékét:
        • transzformálni kívánt érték - ( két másik csúcs értékének szorzata) / pivot érték
        • Az eredményeket oszlophelyesen beírjuk az új táblabővítményünk pivot sorába.
  X1 X2 X3 X4
X5
 b
X1
X2
X3
X4
 b X1 X2 X3 b X2 X3 b
X1
2
4
-2
-1
1
0
 -2  3  -2  1  0  -1  3  -4  0  -3  4  0
X4
-5
-1
2
3
-1
0
 -1  0  2  1  0  -1  0  2  0  -3  6  0
X5
4
1
0
-2
1
0  4  1  0  -2  0  2  1  4  0  7  -4  0

b) Redukálja a célfüggvényt!

1.Írjuk fel az eliminált változók nem eliminált változókkal kifejezett értékeit!

  • Fejezzük ki az utolsó táblabővítményünk eliminált változóinak soraiból az adott változók, nem eliminált változókban kifejezett értékeit!

    X1 = -3X2 + 4X3
    X4 = -3X2 + 6X3
    X5 = 7X2 - 4X3
  • Helyettesítsük be a kifejezett értékeket a célfüggvénybe:

    f ( X1, X2, X3, X4, X5 ) = X1X3 - X2X3 - X2X4 + X2X5 - 76X2 + 48X3 → extr

    f ( X1, X2, X3, X4, X5 ) = ( -3X2 + 4X3 ) X3 - X2X3 - X2 ( -3X2 + 6X3 ) + X2 ( 7X2 - 4X3 ) - 76X2 + 48X3 → extr

    f ( X1, X2, X3, X4, X5 ) = -3X2X3 + 4X32 - X2X3 + 3X22 - 6X2X3 + 7X22 - 4X2X3 - 76X2 + 48X3 → extr

    f ( X1, X2, X3, X4, X5 ) = -14X2X3 + 4X32 + 10X22 + 76X2 + 48X3 → extr

c) Határozza meg az eredeti feladvány optimális megoldásait!